Geometry: An Interactive Journey to Mastery
SERIE • Staffel •
• Vereinigte Staaten von Amerika • 2014
Wie andere mathematische Fächer lehrt uns die Geometrie das Denken. Sie führt die Schüler dazu, auf der Grundlage bereits bekannter Ideen und Fakten neue Wahrheiten zu entdecken. Kurz gesagt, die Geometrie gehört zu den großen intellektuellen Leistungen der Menschheit. Verschaffen Sie sich mit diesen 36 Vorlesungen ein grundlegendes Verständnis der Geometrie.
Originaltitel
Geometry: An Interactive Journey to Mastery
Produktionsland
Vereinigte Staaten von Amerika
Untertitel
Nein
Episoden-Guide
1. Staffel 1 (36 Episoden)
Wie andere mathematische Fächer lehrt uns die Geometrie das Denken. Sie führt die Schüler dazu, auf der Grundlage bereits bekannter Ideen und Fakten neue Wahrheiten zu entdecken. Kurz gesagt, die Geometrie gehört zu den großen intellektuellen Leistungen der Menschheit. Verschaffen Sie sich mit diesen 36 Vorlesungen ein grundlegendes Verständnis der Geometrie.
01
Episode 1
Erforschen Sie die Ursprünge eines der ältesten Zweige der Mathematik. Erleben Sie, wie die Geometrie nicht nur praktische Belange wie Kartierung, Navigation, Architektur und Ingenieurwesen behandelt, sondern auch eine intellektuelle Reise in sich selbst bietet, die zu großen, tiefgründigen Fragen einlädt.
02
Episode 2
Legen Sie die Grundbausteine der Geometrie dar, indem Sie untersuchen, was wir mit den Begriffen Punkt, Linie, Winkel, Ebene, gerade und flach meinen. Dann lernen Sie die Postulate oder Axiome für das Zusammenspiel dieser Bausteine. Schließlich arbeiten Sie Ihren ersten Beweis durch - den Satz vom senkrechten Winkel.
03
Episode 3
Professor Tanton demonstriert mit einem Bleistift, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck auf einer ebenen Fläche 180 Grad beträgt, und vergleicht dies mit dem Begehen eines dreieckigen Weges auf einer Kugel, wodurch die Unterschiede zwischen ebener und sphärischer Geometrie deutlich werden.
04
Episode 4
Formen mit geraden Linien (sogenannte Polygone) sind allgegenwärtig, vom Muster auf dem Badezimmerboden bis hin zur Struktur von Alltagsgegenständen. Aber auch wenn wir ein intuitives Verständnis davon haben, was diese Formen sind, wie können wir sie mathematisch definieren? Was sind ihre Eigenschaften? Finden Sie die Antworten auf diese und weitere Fragen heraus.
05
Episode 5
Wir definieren den Satz des Pythagoras üblicherweise mit der Formel a2 + b2 = c2. Aber Pythagoras selbst wäre davon verwirrt gewesen. Erforschen Sie, wie dieser berühmte Satz anhand gewöhnlicher geometrischer Formen erklärt werden kann (keine ausgefallene Algebra erforderlich) und wie es eine wichtige Grundlage für den Rest der Geometrie darstellt.
06
Episode 6
Erfahren Sie, wie die Beobachtung einer Fliege an der Zimmerdecke den Mathematiker René Descartes dazu inspirierte, Geometrie und Algebra miteinander zu verbinden. Finden Sie heraus, wie diese leistungsstarke Verbindung es uns ermöglicht, mithilfe der Algebra Entfernungen, Mittelpunkte und mehr zu berechnen.
07
Episode 7
Untersuchen Sie, inwiefern unsere übliche Definition von Parallelität unmöglich zu überprüfen ist. Nutzen Sie die grundlegenden Annahmen, die Sie gelernt haben, um in Euklids Fußstapfen zu treten und eine alternative Methode zu entwickeln, um zu prüfen, ob Linien parallel sind. Sehen Sie, wie es mit diesem Ergebnis möglich ist, den Umfang der Erde zu berechnen, indem man einfach Schatten benutzt!
08
Episode 8
Das Schöne an der Geometrie ist, dass jedes Ergebnis logisch auf das andere aufbaut. Mathematiker demonstrieren diese Kette von Schlussfolgerungen mit Hilfe von Beweisen. Lernen Sie diesen schrittweisen Prozess der Logik kennen und sehen Sie, wie Sie Ihre eigenen Beweise konstruieren können.
09
Episode 9
Ähnliche Polygone haben proportionale Seiten und gleiche Winkel; kongruente Polygone sind in Größe und Form identisch. Das Seiten-Winkel-Seiten-Postulat bestätigt, dass Dreiecke ähnlich sind, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel des einen Dreiecks proportional zu denen des anderen sind. Thales nutzte dies, um die Höhe von Pyramiden zu messen.
10
Episode 10
Bauen Sie auf dem Seiten-Winkel-Seiten-Postulat auf und leiten Sie andere Möglichkeiten ab, um zu prüfen, ob Dreiecke ähnlich oder kongruent sind. Tauchen Sie auch in verschiedene praktische Anwendungen ein, einschließlich eines Tricks, den Botaniker anwenden, um die Höhe von Bäumen zu schätzen, und einer Möglichkeit, die Breite eines Flusses nur mit einer Baseballmütze zu messen.
11
Episode 11
Vertiefen Sie die Zusammenhänge zwischen Algebra und Geometrie, indem Sie sich mit Linien und ihren Gleichungen beschäftigen. Verwenden Sie die drei Grundannahmen, um zu beweisen, dass parallele Linien die gleiche Steigung haben, und um den kürzesten Abstand zwischen einem Punkt und einer Linie zu berechnen.
12
Episode 12
Sie haben gelernt, wie man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten findet. Aber was ist, wenn Sie drei Punkte haben? Oder vier Punkte? Erforschen Sie das Konzept der Äquidistanz und wie es noch mehr über die Eigenschaften von Dreiecken und anderen Formen verrät.
13
Episode 13
Setzen Sie Ihr Studium der Parallelität fort, indem Sie die Eigenschaften von Transversalen (Linien, die zwei andere Linien schneiden) untersuchen. Beweisen Sie, dass entsprechende Winkel kongruent sind, und sehen Sie, wie diese Tatsache mit einer bestimmten Art von Polygon, den Trapezen, zusammenhängt.
14
Episode 14
Klassifizieren Sie alle verschiedenen Arten von vierseitigen Polygonen (Vierecke genannt) und lernen Sie die überraschenden Eigenschaften der Diagonalen und Innenwinkel von Rechtecken, Rauten, Trapezen und mehr kennen. Sehen Sie auch, wie reale Objekte - wie Bügelbretter - diese geometrischen Merkmale aufweisen.
15
Episode 15
Setzen Sie die Arbeit der Klassifizierung mit Dreiecken fort. Finden Sie heraus, was Mathematiker meinen, wenn sie Begriffe wie schiefwinklig, gleichschenklig, gleichseitig, spitzwinklig, rechtwinklig und stumpfwinklig verwenden. Lernen Sie dann, wie Sie den Satz des Pythagoras anwenden können, um die Art des Dreiecks zu bestimmen (auch wenn Sie die Maße der Winkel nicht kennen).
16
Episode 16
Um die Höhe der Sonne am Himmel zu bestimmen, verwendet man die Trigonometrie, insbesondere den Höhenwinkel. Durch das Erlernen und Anwenden trigonometrischer Identitäten wie Sinus, Kosinus und Tangens, die Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken beschreiben, kann man indirekt die Position der Sonne relativ zu einem festen Punkt auf der Erde berechnen.
17
Episode 17
Die trigonometrischen Identitäten, die Sie zuvor untersucht haben, gehen über Kreise hinaus. Lernen Sie, wie man sie alle mit Hilfe von Dreiecken definieren kann (ausgedrückt durch das berühmte Akronym SOHCAHTOA). Dann erfahren Sie, wie die Trigonometrie in der Praxis von Architekten und Ingenieuren angewendet wird, um die Höhe von Gebäuden zu messen.
18
Episode 18
Bisher haben Sie gesehen, wie man den Sinus, Kosinus und Tangens von Grundwinkeln (0°, 30°, 45°, 60° und 90°) berechnet. Wie kann man sie nun für andere Winkel berechnen - ohne Taschenrechner? Mithilfe des Satzes von Pythagoras werden Sie Formeln für Summen und Differenzen der trigonometrischen Identitäten finden, mit denen Sie diese für andere Winkel berechnen können.
19
Episode 19
Erforschen Sie die Welt der Kreise! Lernen Sie die Definition eines Kreises kennen und erfahren Sie, was Mathematiker mit Begriffen wie Radius, Sehne, Durchmesser, Sekante, Tangente und Bogen meinen. Sehen Sie, wie diese zusammenhängen, und nutzen Sie dieses Wissen, um den Satz vom eingeschlossenen Winkel und den Satz von Thales zu beweisen.
20
Episode 20
In Ihrer Studie über Linien haben Sie die Kombination aus Geometrie und Algebra genutzt, um alle möglichen interessanten Eigenschaften und Merkmale zu bestimmen. Jetzt werden Sie dasselbe für Kreise tun, einschließlich der Herleitung der algebraischen Gleichung für einen Kreis.
21
Episode 21
Was meinen wir, wenn wir „Gebiet" sagen? Finde heraus, dass die Definition nicht ganz so einfach ist. Berechne dann die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks und finde heraus, wie man mit dieser Formel den Flächeninhalt eines beliebigen anderen Vielecks ableiten kann.
22
Episode 22
Wir sagen, dass pi 3,14159 ist ... aber was ist pi wirklich? Warum ist es wichtig? Und was hat es mit dem Flächeninhalt eines Kreises zu tun? Erforschen Sie die Antwort auf diese Fragen und mehr - einschließlich der Definition von Pi für andere Formen als Kreise (z. B. Quadrate).
23
Episode 23
Bis jetzt haben Sie alle möglichen lustigen Eigenschaften mit zweidimensionalen Formen herausgefunden. Aber was ist, wenn du zu den drei Dimensionen übergehst? Klassifiziere gängige 3-D-Formen wie Kegel und Zylinder und lerne einige überraschende Definitionen. Schließlich studierst du die Eigenschaften (wie das Volumen) dieser Formen.
24
Episode 24
Die Verdopplung der Seitenlängen einer Form vervierfacht ihre Fläche und verachtfacht ihr Volumen, wenn sie dreidimensional ist. Das Konzept des Maßstabs ermöglicht die Umkehrung des Satzes von Pythagoras, indem man die Flächen der Formen an den Kanten eines rechtwinkligen Dreiecks verwendet und nicht nur Quadrate.
25
Episode 25
Verbinden Sie die Geometrie mit der Welt der Wahrscheinlichkeitstheorie. Erleben Sie, wie die Verbindung dieser scheinbar nicht verwandten Bereiche neue Möglichkeiten zur Lösung von Wahrscheinlichkeitsfragen bietet - einschließlich der Ermittlung der Wahrscheinlichkeit, dass der Bus an der Haltestelle kurz wartet.
26
Episode 26
Nehmen wir an, Sie haben kein Lineal zum Messen von Längen oder kein Winkelmesser zum Messen von Winkeln. Können Sie trotzdem die geometrischen Grundformen zeichnen? Erforschen Sie, wie die alten Griechen in der Lage waren, Winkel und geometrische Grundformen zu konstruieren, indem sie lediglich ein Lineal zum Markieren von Linien und einen Zirkel zum Zeichnen von Kreisen benutzten.
27
Episode 27
Wenn Sie Squash spielen und den Ball gegen die Wand stoßen, in welchem Winkel prallt er zurück? Wenn Sie Poolbillard spielen und einen Trickstoß gegen die Seitenkante spielst, wie müssen Sie die Kugel dann stoßen? Spielen Sie mit diesen und weiteren Fragen, indem Sie das Reflexionsprinzip erforschen.
28
Episode 28
Sie kennen geometrische Kachelmuster auf Ihrem Badezimmerboden und in den Werken großer Künstler. Aber was würde passieren, wenn man sich wiederholende Muster im 3-D-Raum erzeugen würde? Entdecken Sie die fünf platonischen Festkörper! Werden Sie selbst zum Künstler und kreieren Sie Ihre eigenen schönen Muster - sogar mit mehreren Formen.
29
Episode 29
Nutzen Sie das Papierfalten, um Kurvensätze zu enthüllen: Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln. Untersuchen Sie ihre besonderen Eigenschaften und sehen Sie, wie diese Kurven in der Physik, Astronomie und im Maschinenbau Anwendung finden.
30
Episode 30
Die menschliche Ästhetik scheint sich zur Symmetrie hingezogen zu fühlen. Erforschen Sie diese Idee mathematisch durch das Studium von Abbildungen, Übersetzungen, Dilatationen und Rotationen - und sehen Sie, wie Symmetrie in modernen Beispielen wie Mobiltelefonen angewendet wird.
31
Episode 31
Erforschen Sie die schöne und geheimnisvolle Welt der Fraktale. Lernen Sie, was sie sind und wie man sie erstellt. Untersuchen Sie berühmte Beispiele wie das Sierpinski-Dreieck und die Schneeflocke von Koch. Dann entdecken Sie, wie Fraktale in der Natur vorkommen - von der Struktur von Meeresschwämmen bis zu den Wänden unseres Dünndarms.
32
Episode 32
Wenn Sie eine Schnur mit fester Länge haben, welche Form können Sie mit dieser Schnur erzeugen, um die größte Fläche zu erhalten? Finden Sie die Antwort auf diese Frage anhand der legendären Geschichte von Dido und der Gründung der Stadt Karthago heraus.
33
Episode 33
Wandern Sie durch die verrückte, kontraintuitive Welt der Rotationen. Verwenden Sie eine Teetasse und eine Schnur, um zu erkunden, wie die Mathematik der Geometrie ein interessantes Ergebnis der Quantenmechanik beschreiben kann.
34
Episode 34
Denken Sie über eine weitere überraschende Erscheinung der Geometrie nach - die Mathematik der Zahlen und die Zahlentheorie. Untersuchen Sie die Eigenschaften von Quadratzahlen und Dreieckszahlen und nutzen Sie die Geometrie, um einige ausgefallene Rechenaufgaben ohne Taschenrechner zu lösen.
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Episode 35
René Descartes' Erfindung der Koordinatenebene aus dem 17. Jahrhundert verbindet Geometrie und Algebra. Darauf aufbauend zeigt die Erforschung der komplexen Zahlenebene ihren Nutzen bei der Lösung komplexer Geometrieprobleme und bringt neue Erkenntnisse und Lösungen ans Licht.
36
Episode 36
Zum Abschluss werfen Sie einen Blick auf verschiedene, unterhaltsame Möglichkeiten, die Geometrie neu zu definieren. Erforschen Sie das kontraintuitive Verhalten von Formen, Winkeln und Linien in der sphärischen Geometrie, der hyperbolischen Geometrie, der endlichen Geometrie und sogar der Taxigeometrie. Erleben Sie, dass die Welt der Geometrie niemals ein Buch mit sieben Siegeln ist.